证明群G的子集H是G的子群，当且仅当 h≠Φ,a,b∈H→a(b^-1)∈H

必要性：若H是G的子群，自然非空，并对乘法和取逆封闭，从而H≠∅,并对任意a,b∈H,有ab⁻¹∈H。

充分性：首先，由H≠，可取a∈H，由条件得e=aa∈H，因此H包含G的单位元e。

子集是一个数学概念：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B。

真子集

如果集合A是B的子集，且A≠B，即B中至少有一个元素不属于A，那么A就是B的真子集，可记作：A⊊B。

符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，且x∈B使x∉A，则A⊊B。集合A就是集合B的真子集。