正交矩阵例题一则（Mathematica）

1、给出一个长度为1的5阶向量：n=5;a = Subscript[x, #] & /@ Range[n];a = {a/Sqrt[a.a]}

2、计算：b=2*Transpose[a].a这是一个5*5的对称矩阵。

3、计算：c=IdentityMatrix[n]-b;

4、这是一个对称矩阵：Transpose[c]==c

5、要证明a是正交矩阵，只需要证明：Transpose[c].c是对角矩阵。实际上，这是一个单位矩阵。

6、这个例题，提供了一种方法，可以方便的构造标准正交基。比如，在三维空间里面，只要x1^2+x2^2+x3^2≠0，那么下面的矩阵，作为向量的集合，恰好是三维空间的一个标准正交基。